Akar-akar bulat persamaan kubik

Pertanyaan dari Rahmah

Ini gimana cara nya ya. X^3-3x+n = 0
Berapa banyak n sehingga akar”nya bil bulat??

Jawab :

Persamaan kubik (pangkat 3) memiliki 3 akar. Agar  ketiga akar persamaan kubik f(x) = 0 bernilai real, maka grafik y = f(x) harus memotong sumbu x di 3 titik. Oleh karena itu grafik y = f(x) harus mengalami fase naik dan turun.

Secara umum ada 3 jenis grafik fungsi kubik yaitu :

grafik-fungsi-kubik

gambar 1 : fungsi selalu naik (tidak punya stasioner)

gambar 2 : fungsi tidak pernah turun (punya 1 stasioner)

gambar 3 : fungsi naik dan turun (punya 2 stasioner)

gambar 1 dan 2 tidak memungkinkan grafik memotong sumbu x di 3 titik. Hanya gambar 3 yang memungkinkan grafik memotong sumbu x di 3 titik.

Sekarang kita lihat persamaan

x3 – 3x + n = 0

Persamaan bisa diubah menjadi

x3 – 3x = – n

artinya grafik y = x3 – 3x dan y = – n harus berpotongan di 3 titik, dengan nilai absis titik tersebut adalah bulat

Kita gambar dulu grafik fungsi y = x3 – 3x

Titik potong dengan sumbu x :

y = 0

x3 – 3x = 0

x(x2 – 3) = 0

x = 0, x =  , x = –

Stasioner :

y’ = 0

3x2 – 3 = 0

x2 – 1 = 0

(x + 1)(x – 1) = 0

x = –1 atau x = 1

x = –1 maka y = x3 – 3x = –1 + 3 = 2

x = 1 maka y = x3 – 3x = 1 – 3 = –2

Jika kita gambar grafiknya adalah sebagai berikut :

grafik-kubik-perfek

Dengan mensubtitusikan x = –2 dan x = 2  ke persamaan  y = x3 – 3x kita peroleh

x = –2 maka y = –8 + 6 = –2

x = 2 maka y = 8 – 6 = 2

Dari gambar tampak terlihat, jika kita tarik garis mendatar, maka hanya ada 2 kemungkinan garis yang bisa memotong di x = bilangan bulat, yaitu x = 2 dan x = –2

perpotongan-grafik-kubik

 

Ini menunjukkan hanya ada 2 nilai n yang memenuhi, yaitu –2 dan 2

 

catatan :

pada saat n = 2

persamaan x3 – 3x + 2 = 0 memiliki 3 akar bulat, yaitu –2, 1 dan 1

 

pada saat n = 2

persamaan x3 – 3x – 2 = 0 memiliki 3 akar bulat, yaitu –1, –1 dan 2